¿Cómo transformar un decimal (infinitos periódicos y finitos) en racional (fraccionario)?

Seguiremos los siguientes pasos... 

1. Identificar el número decimal (periódico o decimal) 

El número decimal finito tiene la característica de tener una cantidad de números n.

Ejemplo: si a, b, c y d representan un número entero entonces el número decimal finito será así: a,bcd. 

1,234        1,34556       389,34533    1,23       1,34554    5,4    4,5    345,5  

El número decimal infinito periódico tiene la característica de tener una cantidad de números infinitos, también son de tipo periódico es decir se puede repetir la serie de números y se representa así:  $a,\overline { b } $

Ejemplo: 1,24545454…     23,4444…     123,4567676767…   2,23542354… 

$$|1,2\overline { 45 }|23,\overline { 4 }|123,45\overline { 67 }|2,\overline { 2354 }| $$

2.  Construir una ecuación para números decimales finitos.

Si es el caso de decimal finito construimos una ecuación lineal sencilla igualando el número con x o cualquier variable, luego se multiplica toda la ecuación por una constante que se halla de la siguiente manera:

2.1. Primero se halla el total de decimales que tiene el número, esto es solamente contar cuantos números decimales hay.
2.2. Luego vamos a multiplicar el 10, el número de veces que nos dio el total de decimales.

Ejemplo: si el número es 1,89, la constante sería 100, dado a que solo hay dos (2) números y  multiplicamos dos (2) veces el 10 (10x10=100).
Por consiguiente dividimos la ecuación por la constante, simplificamos el numero y listo.

Ahora haremos un ejemplo.
Si el número a transformar a racional (fraccionario) es 257,456.
La ecuación seria                                          x=257,456.
La constante seria 1000 dado a que solo hay tres (3) decimales y multiplicamos  tres (3) veces el 10 (10x10x10=1000).
Ahora dividimos la ecuación por la constante, cancelamos términos iguales y simplificamos el resultado, como se observa.

x=257,456

(1000)(x)=(257,456)(1000)

(1000)(x)=257456

$$\frac { (1000)(x) }{ 1000 } =\frac { 257456 }{ 1000 } $$

$$x=\frac { 257456 }{ 1000 } $$

$$x=\frac { 32182 }{ 125 } $$

Si tu número es decimal periódico entonces sigue el siguiente paso.

3.  Construir una ecuación para nùmeros decimales periódicos.

En este caso debes construir dos ecuaciones lineales con la misma variable para poder desaparecer el decimal periódico, esto se hace en los siguientes pasos.
3.1 Debes igualar el número por x o una variable cualquiera, esto debes hacerlo dos veces.
3.2 Ahora debes buscar dos constantes, una por cada ecuación. La primera constante se encuentra como el procedimiento (2.1), incluyendo los decimales periódicos.
El segundo se encuentra como el procedimiento (2.1), sin embargo solo vas a contar hasta el decimal que no es infinito. Esto se ilustra con los ejemplos posteriores.
3.2  Ahora solo vas a multiplicar cada una de las constantes por sus ecuaciones respectivas. Te darás cuenta que los decimales periódicos quedaron solos, en cada ecuación.
3.3 Luego debes restar las ecuaciones, para que así se cancelen los decimales periódicos.
3.4 Finalmente debes dividir la ecuación resultante por el número que acompaña la x o la variable, simplificar el racional y listo.

Nota: si solo el numero tiene decimales periódicos entonces solo debes multiplicar una sola constante que es de la primera ecuación, la segunda no debes multiplicar ninguna constante.

Ejemplo:  
a) Si el número a transformar es  $12,178\overline { 234 } $

$x=12,178\overline { 234 } $ 

$x=12,178\overline { 234 } $

Primero dimos el paso 3. que se ilustra anteriormente, ahora pasamos al 3.2 que es buscar las dos constantes.

La primera constante sería un millón (1000000) dado a que solo hay seis (6) decimales, tres finitos y el periódico que seria los otros tres, entonces seria (10x10x10x10x10x10=1000000).

La segunda constante sería mil (1000) dado a que solo hay tres números decimales finitos, entonces sería (10x10x10=1000). 

Ahora el paso 3.2 que es solo multiplicar las constantes con sus respectivas ecuaciones, entonces las ecuaciones quedarían así:

(1ra. ecuación) $(1000000)(x)=(12,178\overline { 234 })(1000000) $ 

$(1000000)(x)=12178234,\overline { 234 } $

(2da. ecuación) $(1000)(x)=(12,178\overline { 234 })(1000) $ 

$(1000)x=12178,\overline { 234 } $

Ahora vamos a hacer la diferencia de las dos ecuaciones (1ra. ecuaciòn - 2da. ecuación) 

                                              $(1000000)(x)=12178234,\overline { 234 } $

                                        -              $(1000)(x)=12178,\overline { 234 } $

                                               _____________________________
                                                        (999000)(x)=12166056

Ahora pasaremos al último paso 3.4, que sería dividir por la ecuación resultante por el numero que acompaña a la x, y simplificar.

$$x=\frac { 12166056 }{ 999000 } $$

$$x=\frac { 1520757 }{ 124875 } $$   

b)  Si el número a transformar es $14,\overline { 4 } $

      (1ra. ecuación)                                     $x=(14,\overline { 4 }) $ 

      (2da. ecuación)                                    $x=(14,\overline { 4 }) $ 

      (1ra. ecuación)                            $(10)(x)=(14,\overline { 4 })(10) $ 

      (2da. ecuación)                                     $x=14,\overline { 4 } $ 

     (1ra. ecuación)                            $(10)(x)=(144,\overline { 4 }) $ 
      (2da. ecuación)                        -            $x=14,\overline { 4 } $  

                                                          __________________

      (Ecuación Res.)                                (9)(x)=130     
     $$x=\frac { 130}{ 9 } $$
En este caso al final no se tuvo que simplificar.

4. El último paso es verificar nuestros resultados, también chequear todo nuestro procedimiento. Para poder verificar solo hay que dividir el numerador con el denominador. 

Nota: para cualquier duda o sugerencia, por favor dejar un comentario.

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